Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.
Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:
2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)
3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)
2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)
-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)
2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo). Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.



A solução de uma equação linear

Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 22, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)],
x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], ... , etc.

Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas.
Seja por exemplo: x + y + z = 5

As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que 3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); ... , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), ... , ou seja, existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.

De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas; ... . Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.

Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , ... , rn) é solução da equação linear
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para
x1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , ... , xn = rn e poderemos escrever:
a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + ... + an.rn = b.



Sistema Linear

É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
.................................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn

Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1, b2, ... , bn são os
termos independentes.
A ênupla (a 1, a 2 , a 3 , ... , a n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:
1) Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares

S1:



2x + 3y = 12



3x - 2y = 5





S2:



5x - 2y = 11



6x + y = 20



são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!

2) Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3) Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4) Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5) Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6) Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0



Método de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1) Um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x - 2y = 6

5x - 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2) Um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
x - 2y + 3z = 1

3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
3x - 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.

T3) Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo: os sistemas
15x - 3y = 22
5x + 2y = 32

15x - 3y = 22
...... - 9y = - 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1
2x . - .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y - 5z = 6 .Equação 3

SOLUÇÃO:
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-...y + z = 12
x ..+ 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6

2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:
2x - ..y + z = 12
.....- 7y + 5z = 6
4x + 3y - 5z = 6

3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x - ..y + ..z = ...12
.....- 7y + 5z = ....6
........5y - 7z = - 18

4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -.....y + ....z =....12
.....- 35y +25z =... 30
.......35y - 49z = -126

5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:
2x - .....y + ....z = ..12
.....- 35y + 25z = ..30
...............- 24z = - 96

6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: - 35y + 25(4) = 30 \ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x - 2 + 4 = 12 \ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }

Verificação:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) - 2(4) = 3
2(5) - (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma
ax + by + cz = k1
dy + ez = k2
fz = k3
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.

É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos:
a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado.
b) f = 0 e k3 ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f .
d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.

Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.

Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.

A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.



Regra de Cramer

Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
....................................................= ...
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentes
b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.



Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.



A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:
xi = D xi / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.