Tal constante a é chamada de constante de proporcionalidade de y em relação a x.
Geometricamente equivale a dizer que o gráfico cartesiano de y como função de x é uma linha reta passando pela origem.
EXERCICIO 1
Talvez a mais famosa lei da Física seja a Segunda Lei de Newton: F = m a, que relaciona a força, aceleração e massa de um corpo ( a força é expressa em Newton ( N ) , a massa em Kg e a aceleração em metros por segundo ao quadrado ). Pergunta-se:
aplicando uma força de 7 N num certo corpo o mesmo ficou com uma aceleração de 13 m / seg2, qual a força a aplicar para que a aceleração suba para 26 m / seg2?
DICA: o que ocorreu com a aceleração ?
Nesta lei, a constante de proporcionalidade é uma variável ou parâmetro?
EXERCICIO 2
É bastante comum ser conveniente usarmos a notação y x para expressar que y varia em proporção direta com x.
Assim sendo, mostre que se y x e se x v , então y v .
Mostre isso tanto usando o raciocínio " dobrar, triplicar, etc " como através da caracterização algébrica acima.
RESPOSTAS: 20 h, $ 30 720
EXERCICIO 6
Para aves voadoras, deseja-se achar relação entre a tensão nas asas da ave e o peso da ave. Pede-se justificar o seguinte raciocínio de proporcionalidade:
Seja L uma dimensão linear qualquer da ave ( por exemplo, seu comprimento ). Então:
tensão = ( peso da ave ) / ( area das suas asas ) L3 / L2 L . Por outro lado : peso massa volume L3.
Resumindo: tensão L e L peso 1 / 3 , de modo que, finalmente: tensão peso 1 / 3 .
--------------------------------------------------------------------------------
2.- A Regra de Três
A notação algébrica, que estamos acostumados a usar rotineiramente e que tanto simplifica o uso da Matemática, é uma invenção relativamente recente. Foi introduzida por Viète, c. 1 600, e aperfeiçoada pelos cartesianos c. 1 650. Foi só a partir daí que passamos a usar fórmulas. Até então vivíamos na Era das Regras.
Uma regra não passa de uma receita, enunciada em termos de palavras da língua que falamos, para resolver um problema. A Regra de Três é uma das poucas regras que sobreviveram na Era das Fórmulas. Ela foi descoberta por comerciantes indianos e um dos primeiros matemáticos a falar sobre ela foi o famoso Brahmagupta c. 500 dC. A partir daí, ela passou a ser presença obrigatória nos livros de Aritmética orientais ( sendo chamada ora de Regra de Três ora de Regra de Ouro ) e acabou chegando no Mundo Cristão onde foi divulgada, principalmente, pelo famoso livro Summa de Pacioli c. 1 500.
Se antigamente, frequentemente, tinha uma justificativa misteriosa, hoje é fácil ver que resume-se a ser um modo complicado e ultrapassado de trabalhar com proporções. Com efeito, sendo y = a x e supondo conhecemos x1 e y1, para sabermos qual o y2 associado com x2, é só usarmos que :
y1
--------------------------------------------------------------------------------
x1
= a = y2
--------------------------------------------------------------------------------
x2
e então resolver para y2 em :
y1
--------------------------------------------------------------------------------
x1
= y2
--------------------------------------------------------------------------------
x2
EXERCICIO 7
Há problemas, como o do exercicío 1, em que a aplicação da Regra de Três é até ridícula. V. poderia dar um caracterização geral deles ?
--------------------------------------------------------------------------------
3.- Variáveis inversamente proporcionais
Sendo uma variável numérica y função de uma outra variável numérica x, dizemos que y varia em proporção INVERSA com x se sempre que dobrarmos x dividimos y ao meio, triplicarmos x dividimos y à terça parte, etc. Em termos mais precisos: o produto x . y tem sempre o mesmo valor para cada x e o correspondente y.
Vejamos a tradução algébrica disso: existe uma constante a ( não nula ) tal que podemos expressar a relação entre y e x como :
y = a / x.
Tal constante a é chamada de constante de proporcionalidade de y em relação a x. Frequentemente, pode ocorrer de não ser conveniente ou importante explicitarmos a, usa-se, então, a notação simplificada:
y 1 / x
Geometricamente, a proporcionalidade inversa equivale a dizer que o gráfico cartesiano de y como função de x é uma hipérbole tangenciando os eixos coordenados.
De um modo geral, ocorrendo que y seja INVERSAMENTE proporcional a x b , ou seja valer y = a / x b , escreveremos:
y 1 / x b
EXEMPLO
A força de atração gravitacional, F, entre duas massas é inversamente proporcional ao quadrado da distância d entre elas : F d 2 . Consequentemente, se dobrarmos a distância entre duas massas dadas, a força entre as mesmas será reduzida a um quarto do valor inicial.
--------------------------------------------------------------------------------
4.- Exercícios complementares
EXERCICIO 8
Foi construído um modelo em escala reduzida 1 : 50 de um navio mercante. Sendo que a área molhada do casco do modelo é 35 cm2, qual a do navio mercante ?
Dadas duas figuras semelhantes, denotemos por L a variável que indica as dimensões lineares da primeira figura e por L' a que indica as da segunda. De modo análogo, denotemos por A e A' as variáveis indicando as áreas ( caso existam ) das duas figuras e denotemos por V e V' os respectivos volumes.
Mostra a Geometria que temos: L L', A A' e V V'.
Ademais, sendo a a constante de proporcionalidade em L L', então as constantes de proporcionalidade para as áreas é a 2 e a dos volumes é a 3.
Temos, em óbvia notação: L = 50 l e daí A = 502 a, de modo que o caso a = 35 corresponde a A = 87 500 cm2 = 8.75 m2.
EXERCICIO 9
Duas caldeiras industriais semelhantes tem área de 80 e 93 m2, respectivamente. Sendo que a segunda tem capacidade de 3 400 m3, qual a capacidade da primeira?
RESPOSTA: 2 712
EXERCICIO 10
A Mecânica dos Fluídos mostra que a resistência ao movimento de um navio é diretamente proporcional à área de sua secção transversal e diretamente proporcional ao quadrado de sua velocidade. A partir disso, pede-se relacionar as velocidades do navio mercante e a de seu modelo ( exerc. 8 ).
DICAS: em óbvia notação, R A V2 e r a v2. Pelo semelhança dos navios, a constante de proporcionalidade é a mesma e daí :
V / v = 1 / 50 R / r
EXERCICIO 11
Custa $150 transportar 1 200 Kg por 90 Km. Quanto custará transportar 750 Kg por 80 Km?
DICA: sendo c = custo, p = peso e d = distância, a primeira coisa é atinar que é razoâvel supormos que c p , d. Consequentemente, temos a função c = c ( p , d ) = a p d, onde a constante de proporcionalidade a é achada pela equação: 150 = a . 1 200 . 90. Assim que:
c ( 750 , 80 ) = a . 750 . 80 = $ 83.33.
Este modo algébrico de pensar é, certamente, bem mais fácil do que pela Regra de Três.
EXERCICIO 12
Para pavimentar 48 m de estrada foram precisos 8 trabalhadores, durante 15 dias de 10 horas. Quantos dias de 12 horas serão necessários para 6 trabalhadores pavimentarem 96m ?
DICA: sejam D = dias, c = comprimento, T = trabalhadores, j = jornada de trabalho. Inicie verificando a plausibilidade de
d = d ( c , t , j ) c , 1 / t , 1 / j
e conclua que d = 33.3 dias.
