P.I.F
Se X é um subconjunto do conjunto dos números naturais N, tal que:
1X
Se nX, então (n+1)X, para todo n>1
Então, X é o próprio N.
Quando introduzimos o conjunto dos números reais pelo método construtivo, é usual iniciar pela construção axiomática dos números naturais. Neste caso, o princípio da indução finita é conhecido como o 3º axioma de Peano. O que importa é que ele é válido e de grande utilidade.
Vejamos um exemplo da aplicação do Princípio da Indução Finita.
Provaremos que a soma dos n primeiros números naturais pode ser escrita como o semiproduto de n por n+1, isto é:
Para todo nN, vale a igualdade:
P(n): (1+2+3+...+n) = n.(n+1)/2
Demonstração: Consideremos X como o subconjunto dos números naturais tal que P(n) seja válida.
Temos que, 1X, pois para n=1, a igualdade P(1) se reduz a:
1 = 1.(1+1)/2
Suponhamos que nX (chamada Hipótese de Indução).
Mostraremos que é válida a propriedade P(n+1), o que equivalente a mostrar que (n+1)X. Realmente:
(1+2+3+...+n)+(n+1) =
=(1+2+3+...+n) + (n+1)
=n.(n+1)/2 + (n+1)
=(n+1).[n/2 + 1]
=(n+1).(n+2)/2
Acabamos de mostrar que:
(1+2+3+...+n)+(n+1) = (n+1).(n+2)/2
e esta igualdade corresponde exatamente a P(n+1) e dessa forma X é o próprio conjunto N, ou seja, P(n) é válida para todo nN.
Análise Combinatória
Definição
Análise combinatória é a parte da matemática que estuda os métodos de contagem.
A Operação Fatorial
Se temos um número n (nÎZ+), n fatorial será:
n! = n (n-1) (n-2) (n-3) . ... . 3 . 2 . 1
Obs.:
se n=0 ; 0! = 1
se n=1 ; 1! = 1
Ex.1:Calcule o valor de 6!
Teremos:
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
6! = 720
Ex.2: Calcule o valor da expressão E= 4! * 3! / 6! :
Teremos:
E = 4! * 3! / 6*5*4!
E = 3! / 6*5
E = 3*2 / 6*5
E = 1/5
Princípio Fundamental da Contagem
Se um determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de p1 maneiras diferentes, a segunda de p2 maneiras, a terceira de p3 maneiras, até pn, o número total de maneiras de ocorrer o acontecimento é :
T = p1 × p2 × p3 × ...× pn ×
Ex.: Se tivermos um dado de 4 faces e um de 6 faces, logicamente, o primeiro pode apresentar 4 resultados diferentes, e o segundo, 6. Os dois juntos podem apresentar, então, 6*4=24 resultados diferentes.
Permutações Simples
Permutações são os agrupamentos de um determinado número de elementos variando apenas a sua ordem. Ex.:
XYZ, XZY, YXZ, YZX,ZXY, ZYX.
O número de agrupamentos de uma permutação simples de n elementos é dado por n!.
Ex.: De quantas formas podemos agrupar as sete cores do arco-íris?
R: 7! = 504
Permutações com Elementos Repetidos
Se formos fazer permutações con n elementos, mas existe um elemento repetido 'a' vezes, outro 'b' vezes, outro 'c' vezes, etc, o número de possibilidades de permutações é:
n!
Pn(a,b,c) = ¾¾¾¾
a! b! c!
Determine o número de anagramas (combinações de letras formando palavras com ou sem sentido) que podemos formar com PATA. E com MACACA.
R:
P1= 4!/2! = 12
P2= 6!/(3!*2!) = 60
Obs.: Exemplos de anagramas com PATA:
AAPT, AATP, APTA, ATPA, PTAA, TPAA, PATA, TAPA, APAT, ATAP, PAAT, TAAP.
Arranjos Simples
Imagine que temos um conjunto de 'n' elementos. O arranjo simples de taxa 'K' é todo agrupamento de 'K' elementos distintos, podendo variar a ordem em que aparecem.
Ex.: A={X,Y,Z}
arranjo de taxa 1: X,Y,Z.
arranjo de taxa 2: XY, YX, XZ, ZX, YZ, ZY.
arranjo de taxa 3: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX.
O número total de arranjos de 'n' elementos, taxa 'K' é:
n!
An,K=¾¾¾¾¾¾
(n-K)!
Quantos anagramas de três letras podemos formar pelo nosso alfabeto (com 26 letras)?
R: A26,3 = 26!/23! = 26*25*24 = 15600
Combinações Simples
As combinações são parecidas com os arranjos, mas apenas há a preocupação com a existência do elemento (não com a ordem). Ex.:
Combinações de taxa 1 do conjunto A={A,B,C,D}
A, B, C, D.
Combinações de taxa 2 do conjunto A={A,B,C,D}
AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Combinações de taxa 3 do conjunto A={A,B,C,D}
ABC, ABD, ACD.
Combinações de taxa 4 do conjunto A={A,B,C,D}
ABCD.
A fórmula é:
n!
CnK= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
K!(n-K)!
Exemplo: Um jogo possui um cartão com 60 números. Deve-se marcar 6 deles. De quantas forma pode-se fazer isso?
R: C606 = 60!/(6!*54!) = 50063860
