9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99
45 = 8 + 12 + 5 + 20, sendo que
8+2=10; 12-2=10; 5x2=10; 20÷2=10
100 = 12 + 20 + 4 + 64, sendo que
12+4=16; 20-4=16; 4x4=16; 64÷4=16
100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9
134498697 = 1 + 23 + 45 + 67 + 89
225 = 1 + 23 + 45 + 67 + 89, e além disso:
89-67=22; 67-45=22; 45-23=22; 23-1=22
1000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888
12345679 x 9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999
122 = 144 212 = 441
132 = 169 312 = 961
1022 = 10404 2012 = 40401
1032 = 10609 3012 = 90601
1122 = 12544 2112 = 44521
1132 = 12769 2112 = 44521
1222 = 14884 2212 = 48841
52 + 2 = 33
882 = 7744
9 x 9 + 7 = 88
9 x 98 + 6 = 888
9 x 987 + 5 = 8888
9 x 9876 + 4 = 88888
9 x 98765 + 3 = 888888
9 x 987654 + 2 = 8888888
9 x 9876543 + 1 = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888
9 x 1 + 2 = 11
9 x 12 + 3 = 111
9 x 123 + 4 = 1111
9 x 1234 + 5 = 11111
9 x 12345 + 6 = 111111
9 x 123456 + 7 = 1111111
9 x 1234567 + 8 = 11111111
9 x 12345678 + 9 = 111111111
9 x 123456789 + 10 = 1111111111
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
1111111112 = 12345678987654321
9 x 7 = 63
99 x 77 = 7623
999 x 777 = 776223
9999 x 7777 = 77762223
99999 x 77777 = 7777622223
999999 x 777777 = 777776222223
9999999 x 7777777 = 77777762222223
99999999 x 77777777 = 7777777622222223
1 x 7 + 3 = 10
14 x 7 + 2 = 100
142 x 7 + 6 = 1.00
1428 x 7 + 4 = 10.00
14285 x 7 + 5 = 100.00
142857 x 7 + 1 = 1.000.000
1428571 x 7 + 3 = 10.000.000
14285714 x 7 + 2 = 100.000.000
142857142 x 7 + 6 = 1.000.000.000
1428571428 x 7 + 4 = 10.000.000.000
14285714285 x 7 + 5 = 100.000.000.000
142857142857 x 7 + 1 = 1.000.000.000.000
9 x 9 = 81
99 x 99 = 9801
999 x 999 = 998001
9999 x 9999 = 99980001
99999 x 99999 = 9999800001
999999 x 999999 = 999998000001
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Introdução aos números inteiros
Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0
As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Os astrônomos e físicos estavam procurando uma linguagem matemática capaz de expressar o movimento de atração entre dois corpos. Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário.
Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.
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Sobre a origem dos sinais
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrejustify">-32
80
-80
0
Logo, a divisão 10/16 é igual a 0,625. Note que o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.
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Comparação de números decimais
A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (maior); < (menor) ou = (igual).
Números com partes inteiras diferentes
O maior número é aquele que tem a parte inteira maior.
Exemplos:
4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.
Números com partes inteiras iguais
Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles.
Exemplos:
12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
8,032 < 8,47 pois 8,47 = 8,470 e 032 < 470.
4,3 = 4,3 pois 4 = 4 e 3 =
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Porcentagem
Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:
A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)
A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b = 100 chama-se porcentagem.
Exemplo: Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que
30
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= 30%
100
Exemplos:
Calcular 40% de R$300,00.
O nosso trabalho será determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
40 X
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=
Módulo de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
|0| = 0
|8| = 8
|-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.
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A soma (adição) de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
(+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
(-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
(+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
-3 + 3 = 0
6 + 3 = 9
5 - 1 = 4
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Propriedades da adição de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 =
z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
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A Multiplicação (produto) de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, teremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, teremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos então que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que:
Sinais Resultado
iguais produto de inteiros é positivo
diferentes produto de inteiros é negativo
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Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo z em Z, z diferente de zero, existe z-1=1/z em Z, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1
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Propriedade mista (distributiva)
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
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Potenciação de números inteiros
Definição: A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
n vezes
Exemplos:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = (-8)
(-5)2 = (-5) x (-5) = 25
(+5)2 = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a3 pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a2 onde a é o lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a é o lado do cubo.
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Potenciação com o browser
Para obter uma potência Mn com o Browser Netscape, como, por exemplo 125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:
javascript:Math.pow(12,5)
exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela como a resposta 248832. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
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Radiciação de números inteiros
Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da própria linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei aqui Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Dessa forma, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:
b = Rn[a] <=> a = bn
Definição: A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número a.
Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro muito comum: Frequentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
Definição: A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos:
R3[8] = 2, pois 23 = 8.
R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.
R3[27] = 3, pois 33 = 27.
R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números inteiros, concluímos que:
Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
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Radiciação com o browser
Se você quer obter a raiz n-ésima de um número não negativo M, que é igual a uma potência (power, em inglês, reduzida para pow) com expoente fracionário da forma 1/n, no Browser Netscape, digite exatamente da forma como está escrito, dentro da caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço).
e pressione ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta! Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
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Atualizada em: Thursday, September 14, 2000 09:47 PM.
