Um número excessivamente grande de colégios e livros ainda apresenta o logaritmo como um mero artifício de cálculo viabilizando o cálculo rápido de multiplicações e quocientes de números, explorando o fato que o logaritmo tem a propriedade de transformar multiplicações e quocientes em somas e diferenças. Embora ele tenha sido inventado com esse propósito, o surgimento das calculadoras científicas eletrônicas, em 1972, tornou essa utilidade do logaritmo um mero assunto de cursos de História da Matemática! Apesar disso, e devido a outras propriedades, o logaritmo continua sendo uma das mais importantes funções da Matemática.
No material que segue, como um passo inicial em direção do entendimento da real importância dos logaritmos na atualidade, examinaremos o seu significado.
Rápida recordação do conceito de logaritmo
Se pensarmos em base 10 :
Dizemos que a dezena, a centena, o milhar, e assim por diante ( ie que 10 , 100 , 1000 , etc ) tem ordem de grandeza respectivamente 1 , 2 , 3 , etc pois que podemos escrever 10 = 10 1 , 100 = 10 x 10 = 10 2, 1000 = 10 x 10 x 10 = 10 3, etc .
Dizemos que o décimo, o centésimo, o milésimo, e assim por diante ( ie que 0.1 , 0.01 , 0.001 , etc ) tem ordem de grandeza respectivamente -1 , -2 , -3 , etc pois que podemos escrever 0.1 = 1/10 = 10 -1, 0.01 = 1/100 = 1/10 x 1/10 = 10 -2, 0.001 = 1/1000 = 1/10 x 1/10 x 1/10 = 10 -3, etc.
Dizemos que 1 tem ordem de grandeza 0 , pois que 10 0 = 1
Dizemos que, em base 10, os demais números positivos tem ordem de grandeza fracionária, ie que os logaritmos dos demais números positivos são números fracionários. Com efeito, vejamos um exemplo:
qual a ordem de grandeza ( ou o logaritmo ) de 40?
E' fácil ver que tem de estar entre 1 e 2, pois que 10 < 40 < 100 . Melhor do que isso, se V. pegar sua calculadora, V. poderá facilmente obter a seguinte tabela:
10 1.0 = 10.0000
10 1.1 = 12.5892
10 1.2 = 15.8489
10 1.3 = 19.9526
10 1.4 = 25.1189
10 1.5 = 31.6228
10 1.6 = 39.8107
10 1.7 = 50.1187
10 1.8 = 63.0957
10 1.9 = 79.4328
10 2.0 =100.0000
Na tabela, V. pode ver que 10 1.6 < 40 < 10 1.7 , o que significa que o log de 40 está entre 1.6 e 1.7.
De um modo semelhante, V. pode ver que 10 1.60 < 40 < 10 1.61 , o que significa que o log de 40 está entre 1.60 e 1.61.
Se continuássemos ao infinito esse processo, poderíamos ver que o valor exato da ordem de grandeza de 40, ie do log 40, é
log 40 = 1.60205 99913 27962 ... .
Pode-se sintetizar toda a discussão acima dizendo-se que se um número positivo x pode ser escrito como x = 10 y , então seu log ( em base 10 ) é y.
Resumindo:
log ( x ) = log ( 10 y ) = y
E se pensarmos em outras bases?
logaritmo de comerciantes
Poderíamos, por exemplo, pensar num logaritmo de comerciantes. Eles contam em dúzias, grosas ( 12 x 12 = 144 ), etc. Então, o loc ( 40 ), ie o logaritmo de comerciante de 40, é o número y tal que 40 = 12 y, y esse que indica a ordem de grandeza de 40 quando o expressamos ou o medimos em termos de potências de 12.
EXERCICIO
Imitando o que foi feito acima para o log em base 10, mostre que
loc ( 40 ) = 1.48451 42993 31386...
logaritmo da Informática
Acompanhando o matemático Claude Shannon, o pessoal da Informática prefere contar em potências de 2, ou seja, eles preferem usar logaritmo em base 2.
Como um exemplo, vejamos a seguinte tabela que dá as mais frequentemente usadas profundidades de cor associadas às respectivas quantidades de cores possíveis de representar numa tela ( monitor ) de computador:
número de cores profundidade de cor
16 4
256 8
65 536 16
16 777 216 24
Uma propriedade básica do log ( em qualquer base ):
Nas igualdades 10 = 101 , 100 = 102 , 1000 = 103 , etc os valores dos números crescem em progressão geométrica enquanto que os seus expoentes - ie seus logaritmos base 10 - crescem em progressão aritmética.
É fácil mostrar que vale a seguinte versão geral desse fato: se os valores de uma variável x crescerem em PG os logaritmos ( em qualquer base ) de x crescerão em PA.
O log que NAPIER inventou em 1614 era bastante diferente do log natural.
O log de Napier tinha muitos inconvenientes e foi tornado obsoleto pelo próprio Napier que também, com Briggs em 1617, introduziu o log decimal.
É errado, consequentemente, chamar o log natural de neperiano.
E quanto a origem do log natural?
Os primeiros construtores de tabelas de logaritmos decimais ( log ) observaram que, sendo a uma constante:
log ( 1 + x ) ~ a . x , se x ~ 0
Como viram que essa aproximação poderia ser enormemente aproveitada na construção de suas tabelas, tiveram a feliz idéia de se perguntar o seguinte:
Em qual base B o log base B, logB, torna a aproximação acima a mais simples possível? Isso é, para qual valor de B teremos
logB ( 1 + x ) ~ x , se x ~ 0 ?
O valor de tal B foi prontamente achado ( é o que, hoje, chamamos de constante de Euler e = 2. 718 281 ...) e o correspondente log foi inicialmente chamado de log hiperbólico e depois de log natural.
Por que log hiperbólico?
Os dois primeiros matemáticos a estudarem teoricamente o ln ( log natural ), ST. VINCENT e DE SARASA em 1650, mostraram que ln r podia ser interpretado como a área do segmento do gráfico cartesiano da hiperbóle y = 1/x entre x=1 e x=r.
Por que o natural?
Porque dentre os vários log o que tem fórmulas mais simples para calcular derivadas , integrais e etc é o log em base e. Isso é constatado facilmente por qualquer aluno ao estudar Cálculo Infinitesimal.
A nível de segundo grau podemos dar a seguinte razâo para o "natural":
No contexto de variáveis contínuas, é muito mais fácil e natural - apesar das aparências - trabalharmos com ex do que com 10x
Ao fazermos essa opção de simplicidade automaticamente estamos fazendo a opção pelo log natural em vez do log decimal ( pois, conforme sabe todo aluno de segundo grau, logaritmação e exponenciação são operações inversas e , então, onde anda uma - quase sempre - aparece a outra ).
Por que afirmamos que é mais fácil trabalharmos com ex do que com 10x?
Suponhamos que aplicamos um capital inicial de A reais a uma taxa de juros de 4 % ao mês. Qual será o capital A ( n ) acumulado em n meses?
se os juros forem calculados mensalmente ( processo discreto):
A ( n ) = 1.04 n A
se os juros forem calculados continuamente (processo contínuo):
A ( n ) = e0.04 n A
ou, de modo mais deselegante:
A ( n ) = 100.43429448 x 0.04 n A
Dados biográficos
Claude Elwood Shannon nasceu nos USA em 1916. Formou-se em Matemática e Engenharia Elétrica na Universidade de Michigan, e fez seu mestrado e doutorado no MIT. Trabalhou a maior parte de sua vida nos Laboratórios Bell e, após uma rapidíssima vida de professor, aposentou-se com cerca de 50 anos. Ainda é vivo e ativo intelectualmente ( poderíamos dizer que, principalmente, financeiramente uma vez que tem dedicado-se a desenvolver programas de análise do sistema financeiro de Wall Street e com os quais acabou formando um imenso capital ). Apesar de sua vida extremamente reclusa e estar afastado dos meios académicos é um dos mais famosos matemáticos vivos. Este pequeno trabalho objetiva lhe dar uma idéia da razão dessa fama.
Shannon e a matemática dos computadores eletrônicos
Motivado por necessidades de cálculos militares em balística, o Prof. Bush do MIT construiu em 1930 um potentíssimo computador analógico eletro-mecânico: o analisador diferencial de Bush. Na época era o computador mais potente em existência no mundo. Contudo, como todo computador analóogico, era uma máquina capaz de resolver um único tipo de problema, no caso: equações diferenciais.
Apesar disso, tinha duas inovações que mais tarde foram decisivas para a invenção dos computadores eletrônicos digitais : usava componentes eletrônicos e tinha certa capacidade de programação ( era capaz de resolver qualquer equação diferencial dada desde que suas componentes fossem reconfiguradas em função dessa ).
Nessa época, Shannon trabalhava como assistente de Bush e esse sugeriu-lhe que tentasse fazer um estudo matemático procurando descobrir o princípio que possibilitava o funcionamento da máquina construída um tanto quanto empiricamente.
Shannon dedicando-se ao problema, descobriu que os circuítos baseados em relays tinham seus estados de ON ou OFF ( ie, de ligado e desligado ) regidos pelas leis da Algebra de Boole . Mais do que isso, fazendo as associações:
ON - verdadeiro - 1
OFF - falso - 0
foi capaz de mostrar como construir circuítos baseados em relays e capazes de realizar cada uma das quatro operações aritméticas.
Hoje, em plena Era da Informática, poucas pessoas sã>
12r=ln(3)
assim:
r=ln(3)/12=0,0915510
Assim:
N(48)=200 e48.(0,0915510)= 16200 bactérias
Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias
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Desintegração radioativa
Os princípios da radioatividade foram desenvolvidos no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:
N(t) = No e-k.t
esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.
Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.
Se N=No/2 para t=T, temos
No/2 = No e-k.T
assim
T=Ln(2)/k
Na tabela abaixo, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:
Substância Meia-vida T
Xenônio 133 5 dias
Bário 140 13 dias
Chumbo 210 22 anos
Estrôncio 90 25 anos
Carbono 14 5.568 anos
Plutônio 23.103 anos
Urânio 238 4.500.000.000 anos
Para o Carbono 14, o valor da constante de decaimento é:
k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano.
